Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Stamfunktion og ubestemte integral

Stamfunktion og ubestemte integral

I differentialregning så vi hvorledes vi bestemmer f'(x), når vi kender f(x). Vi differentierer med altså f(x) med hensyn til x for at bestemme f'(x). Men nogle gange er det nødvendigt at gå tilbage til f(x) fra f'(x). I denne sektion skal vi se, hvorledes vi kan bestemme f(x), når vi kender f'(x). 

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 12.48.15 PM

At integrere er med andre ord det omvendte til at differentiere. Når vi integrerer, ønsker vi altså at bestemme stamfunktionen, det vil sige den funktion som vi kender den afledede funktion til.

Eksempel

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 1.41.46 PM

fordi

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 1.43.19 PM

Stamfunktioner

Når man regner baglæns på differentiation, så bestemmer man stamfunktionen. Vi kan mere generelt definere dette som

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 2.03.31 PM

Det vil sige at en funktion F(x) vil være stamfunktion til f(x), hvis F'(x) = f(x).

Vær opmærksom på her, at ligesom at vi under differentiation skriver f´(x) for den afledede af f(x), så skriver vi under integration F(x) for stamfunktionen til f(x).

Når vi skal bestemme stamfunktionen, skal vi altså tænke omvendt differentiation. Tager vi udgangspunkt i en potensfunktion, så kan vi altså differentiere funktionen f(x) ved at sige

Skærmbillede 2013-10-31 kl. 9.15.38 PM

Da integration er det omvendte til differentiation er reglen for at integrere en funktion f(x) som følger

Integration af en potens

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 2.26.20 PM

Hvor ikke være lig -1. Lad os tage et par eksempler

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 2.35.45 PM

Konstantreglen for integration

Man kan integrere en konstant (fast tal) gange en funktion ved simpelthen at lade konstanten så og så integrere funktionen. Hvis vi antager her at g er en integrabel funktion og k en konstant så gælder der

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 2.43.25 PM

hvor c står for “constant”, hvilket betyder konstant på dansk. Konstanten c bliver kaldt for integrationskonstanten.

Som tidligere nævnt så er integration den omvendte regning til differentiation. Der er dog en særlig egenskab ved integration i forhold til differentiation. Når man differentiere en funktion ender man med én bestemt afledet funktion. Dette er ikke tilfældet ved integration. En given integrabel funktion kan have mange stamfunktioner. Lad os prøve at integrere F(x) = G(x) + c, vi får F'(x) = G'(x) + c´ = g(x) + 0 = g(x). Da alle konstanter integreret giver 0, kan integrationskonstanten indtage alle værdier og resultatet vil stadig give det samme. Ofte ser man stamfunktioner anført uden integrationskonstanten, i disse tilfælde er den underforstået. Eksempelvis, hvis f(x) = 3, så er F(x) = 3x + c.

Sumregel/differensregel for integration

Denne regel er præcis den samme som for differentiation, idet man integrerer sum/differens ved at integrere hvert led for sig og lægge integrationskonstanten c til.

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 3.22.21 PM

De ovenstående 3 sætninger er de vigtigste regneregler for integration. Vi samler disse regler i følgende kasse.

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 4.19.33 PM

Ubestemt integral

Man kalder en stamfunktion til funktionen f(x) ofte for et integral af f(x) og skrives ved et integraltegn.

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 4.28.15 PM

Eksempel

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 4.32.06 PM

Vigtige stamfunktioner

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 4.48.48 PM

Eksempel

Beregn stamfunktionen

Skærmbillede 2013-11-04 kl. 4.51.39 PM

 

Opgaver                                                                                                                                           Integrer følgende 4 stykker

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.43.29 AM

Løsning

 

Opgaver                                                                                                                                             Integrer følgende 4 stykker

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.38.46 AM

Løsning