Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Skalarprodukt

 

Skalarprodukt

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Skalarprodukt

Vi har tidligere set, hvorledes vi udregner summen samt differensen af 2 vektorer. Vi har også set, hvorledes vi ganger et tal med en vektor. Vi mangler dog endnu at se, hvorledes vi ganger 2 vektorer sammen. Produktet af 2 vektorer giver dog ikke en ny vektor i den to dimensionale verden, men derimod i den tre dimensionale verden som vi vil stifte bekendtskab med senere.

Produktet af 2 vektorer kaldes også for prikproduktet. Prikproduktet bliver kaldt for en skalar og er et enkelt tal.

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 12.01.33 AM

Vi ser altså her, hvorledes man beregner prikproduktet af 2 vektorer. Lad os som en forlængelse se her, hvorledes vi beregner prikproduktet af to tilfældige vektorer

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 12.09.27 AM

Prikproduktet giver som nævnt et tal og ikke en ny vektor, når vi beskæftiger os med vektorer i planen. Nedenfor er gengivet regnereglerne for skalarproduktet.

Regneregler for skalarprodukter

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 9.33.09 AM

Bevis

Det er ret nemt at bevise de 4 sætninger, vi beviser her kun sætning nr. 3.

 

Det er vigtigt at kunne udregne skalarproduktet af 2 vektorer. Vil man eksempelvis udregne vinklen mellem 2 vektorer, er det nødvendigt at kunne udregne skalarproduktet mellem de samme vektorer, idet skalarproduktet indgår i formlen for at beregne vinklen mellem 2 vektorer. For at beregne vinklen mellem 2 vektorer anvendes følgende formel

Vinkel mellem vektorer

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 9.51.50 AM

Har man 2 vektorer i et koordinatsystem, så er det ligesom ved 2 rette linjer muligt at udregne vinklen mellem disse 2 vektorer

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 10.03.12 AM

Vi kan eksempelvis beregne vinkel v ved hjælp af formlen foroven.

Ortogonale vektorer

Når vi regner med vektorer, kan vi i visse tilfælde være i situationer, hvor to vektorer står vinkelret på hinanden. I disse tilfælde siger man at de er ortogonale, dvs. at vinklen mellem disse to er 90 grader.

Skærmbillede 2013-11-26 kl. 9.24.36 AM

Der ses i figuren to ortogonale vektorer, disse to vektorer står vinkelret på hinanden.

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 10.32.53 AM

Lad os se nærmere på et konkret eksempel

 Skærmbillede 2013-11-24 kl. 10.42.11 AM

Parallelle vektorer

Når determinanten af to vektorer er lig med 0, da gælder der at de to vektorer er parallelle. Det vil med andre ord sige, at de besidder samme hældning. Nedenunder i koordinatsystemet ses 4 parallelle vektorer

Skærmbillede 2013-11-26 kl. 8.59.33 AM

Læg mærke til her at vektorerne ikke behøver at være ensrettede, de kan lige såvel være modsatrettede vektorere. En determinant på 0 angiver altså at vektorerne er parallelle.

Skærmbillede 2013-11-26 kl. 8.56.34 AM

Projektion af vektor på vektor

Vi skal her se lidt nærmere på, hvad det vil sige at udregne en projektion af vektor på vektor og hvorledes vi udregner denne.

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 11.14.34 AM

I figuren ses projektion af punkter samt vektor.

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 11.32.38 AM

Formlen kaldes for projektionsformlen.

Tværvektor

Vi skal her se lidt nærmere på tværvektorer og deres egenskab. En tværvektor fremkommer, når man drejer den vektor, man anvender som udgangspunkt 90 grader i positiv retning. Lad os se på et geometrisk illustration.

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 12.08.54 PM

Som det ses i tegningen så har vi altså drejet vektoren 90 grader i positiv retning. Vi kan opsummere i følgende kasse.

Skærmbillede 2013-11-24 kl. 12.14.40 PM

Husker vi tilbage til ortogonale vektorer, da så vi at produktet mellem to ortogonale vektorer giver 0. Det vil sige gange vi 2 vektorer sammen der står vinkelret på hinanden må de give 0. Da en vilkårlig vektor og dens tværvektor også står vinkelret på hinanden må der gælde at produktet mellem en vektor og dens tværvektor også må give 0.

Opgaver  

Udregn følgende prikprodukter                                                                                                           

Skærmbillede 2013-11-25 kl. 10.41.56 PM

 

Skærmbillede 2013-11-25 kl. 11.34.11 PM

Løsning

 

Skærmbillede 2013-11-25 kl. 11.46.11 PM

Løsning