Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Sammensatte funktioner

 

Sammensatte funktioner

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Sammensatte funktioner

I denne sektion vil vi præsentere sammensatte funktioner og give en række taleksempler. Vi vil se, hvorledes vi kan identificere sammensatte funktioner.

Ofte der har man har to (eller flere) funktioner, man sætter sammen. At sætte funktioner sammen
vil sige, at man definerer den variable(x-værdien) som en funktion af en anden variabel. Det vil sige at man først kommer sin x-værdi ind i den ene funktion (indre funktion), resultatet man så får
kommer man så ind i den anden funktion (ydre funktion). Den funktion, man først bruger, kalder man altså for den indre funktion, mens nummer to (den man regner efterfølgende) kaldes den ydre funktion.

lad os betragte følgende funktion

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 11.38.10 AM

Indsætter vi 1 ind på x’s plads i f(x), fås f(1) = 2 + 1 = 3. Indsættes 2 ind på x’s plads fås f(2) = 2 + 2 = 4. 

Lad os nu betragte følgende funktion

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 12.14.48 PM

Indsætter vi værdierne 1 og 2 ind på x’s plads g(x), fås

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 12.21.16 PM

I dette tilfælde er funktionerne f(x) og g(x) begge afhængige af x. Lad os nu prøve at lave en sammensat funktion med f(x) og g(x). I dette tilfælde vil vi lade f(x) være den indre funktion og g(x) vil være den ydre funktion. Det vil sige:

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 12.32.38 PM

Vi har altså sat f(x) = 2 + x ind på x’s plads i g(x). Vi har hermed konstrueret en sammensat funktion, hvor f(x) er den indre funktion og g(x) er den ydre funktion. Indsætter vi nu 1 og 2 ind på x’s plads får vi

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 12.37.10 PM

Det er ikke ligegyldigt, hvilken en der er den indre og hvilken der er den ydre funktion. Derfor skal man omhyggeligt starte med at aflæse, hvilken funktion er den ydre og hvilken er den indre. Vender vi om på funktioner, ser vi at vi ikke får samme resultat.

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 12.44.20 PM

I matematik gør man opmærksom på at man har med en sammensat funktion at gøre ved at anvende bolle-notationen. Således viser man at g(x) er en funktion af f(x): 

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 12.48.07 PM

Man kan her sige at man “boller funktionen med funktionen g” eller blot “ bolle g af x”. Vi kan her vise flere eksempler på sammensatte funktioner:

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 1.03.18 PM

Endnu et eksempel kan være

Skærmbillede 2013-10-29 kl. 1.06.31 PM