Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Planer i rummet

 

Planer i rummet

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Planer i rummet

Vi har tidligere afsnit set, at en ret linje kan fastlægges ved et kendt punkt og den tilhørende normalvektor. I dette afsnit vil vi fastlægge en plan, ved hjælp af et punkt og en normalvektor.

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 5.11.20 PM

Der gælder nu ligesom i den todimensionale verden, at planen udgør mængden af alle de punkter P(x,y,z), der opfylder at:

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 5.07.04 PM

Udregner vi herefter skalaproduktet fremkommer planens ligning

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 5.18.49 PM

Læg mærke til her at i forhold til det todimensionale rum, er her kommet et led mere på. Lad os her kigge på et konkret eksempel, hvor vi givet et punkt samt en normalvektor beregner planens ligning

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 5.44.31 PM

 Parameterfremstilling for en plan

Har man en vektor, der ligger i en plan, har man med en retningsvektorer at gøre. Det vil sige en retningsvektor for planen. Har vi 2 retningsvektorer der ikke er parallelle og et kendt punkt, kan man opskrive en parameterfremstilling for planen.

Skærmbillede 2014-12-30 kl. 12.51.09 AM

Vi har her på tegningen indtegnet det kendte punkt og 2 retningsvektorer. Læg her mærke til

Skærmbillede 2014-12-30 kl. 2.25.40 PM

Lader vi s og t løbe gennem alle mulige tal, vil vores “løbende punkt” P gennemløbe alle punkter i planen. Vi kan også bestemme stedvektoren til P ved hjælp af indskudsreglen:

Skærmbillede 2014-12-30 kl. 3.00.24 PM

Vi har nu fundet frem til planens parameterfremstilling

Skærmbillede 2014-12-30 kl. 2.56.55 PM

Afstand fra punkt til plan

Vi vil her præsentere formlen for afstanden fra et punkt til en plan.

Skærmbillede 2014-12-30 kl. 4.45.51 PM

dist står for det engelske ord distance, på dansk afstand. Beviset for formlen minder om den tilsvarende formel for afstanden mellem et punkt til en linje i to dimensioner.

Vinkel mellem linje og plan

I visse tilfælde er man interesseret i at beregne vinklen v mellem en linje og en plan. For at beregne vinklen skal man først starte med at beregne vinklen u mellem en normalvektor for planen og retningsvektoren for linjen ud fra skæringspunktet. Herefter kan vinklen v bestemmes. Vinklen mellem normalvektoren og retningsvektoren kan bestemmes ved følgende formel:

Skærmbillede 2014-12-30 kl. 6.27.43 PM

Lad os herefter kigge på et konkret eksempel, hvor ovenstående formel anvendes:

Skærmbillede 2014-01-01 kl. 2.00.00 PM

Vinkel mellem to planer

Har man to planer, der skærer hinanden i en linje l. Kan man bestemme vinklen mellem disse 2 planer ved at beregne vinklen mellem disse 2 planers normalvektorer afsat på linjen l. Denne vinkel bestemmes af:

Skærmbillede 2014-01-01 kl. 5.39.01 PM

Lad os tage udgangspunkt i et konkret eksempel. Vi ønsker her at beregne vinklen mellem 2 planer

Skærmbillede 2014-01-01 kl. 5.56.51 PM

Opgaver

Bestem planens ligning, givet et kendt punkt samt en normalvektor

Skærmbillede 2014-01-18 kl. 4.33.40 PM

Se løsning

 

Skærmbillede 2014-01-18 kl. 5.58.46 PM

Se løsningen