Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Optimering

 

Optimering

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Optimering

Vi har indtil videre set, hvorledes vi via funktionsanalyse blandt andet bestemmer minima og maksima og toppunktet for en parabel. Vi har dog ikke rigtig sat det i perspektiv, det vil sige, hvorledes vi kan rent faktisk kan anvende disse beregner i praksis i det virkelige liv. Eksempelvis kunne det tænkes at en produktionschef i en større produktionsvirksomhed, ønsker at bestemme den optimale antal medarbejdere, der skal til for at maksimere profitten. En professionel sportsmand ønsker måske at beregne den mængde proteiner, der optimere hans performance eller landmanden der ønsker at beregne den mængde gødning, der maksimere kornvæksten. Optimering ved anvendelse af matematiske modeller indenfor økonomi er meget vigtige, vi skal her se nærmere på, hvad det vil sige at optimere.

Optimering med f'(x)

En differentiabel funktion har maksimum eller minimum, når f'(x) = 0. Det vil sige, at når funktions afledte f'(x) har et bestemt tal, x for hvilket resultatet af den afledte vil give nul, f'(x) = 0. Det kan enten være funktionens minimum eller maksimum. Lad os tage et simpelt eksempel, vi ønsker at beregne f'(x) = 0 for følgende funktion og undersøge om det er et minimum eller maksimum.

Skærmbillede 2013-11-15 kl. 6.39.52 PM  Funktionen f(x) kunne tænkes at angive en omkostningsfunktion for en produktionsvirksomhed som funktion af bestanddele til produktionen af en maskine. Vi ville så se, at en enkelt bestanddel vil minimere omkostningen i forbindelse med produktionen.

Lad os nu antage, at vi har følgende funktion

Skærmbillede 2013-11-15 kl. 7.49.31 PM

vi antager at funktionens definitionsmængde udgør mængden af alle reelle tal, det vil sige at funktionen er defineret over hele x-aksen. Vi ønsker nu at bestemme funktionens minimum.

Skærmbillede 2013-11-15 kl. 7.47.55 PM

Løsning

Skærmbillede 2013-11-15 kl. 8.44.03 PM

Vi har nu set, hvorledes vi finder en funktions minimum. I de følgende opgaver skal vi ved hjælp af differentiation løse et praktisk problemstilling.

Opgave 1

Skærmbillede 2013-11-15 kl. 8.39.12 PM

Løsning

 

Opgave 2

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.27.27 AM

Løsning