Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Differentialligninger

 

Differentialligninger

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Differentialligninger

I matematisk finansiering anvendes i stor udstrækning differentialligninger til at beskrive udviklingen af obligationer, aktier, optioner og mange andre afledte aktiver. Mange søgemaskiner anvender ligeledes differentialligninger til at optimere deres algoritmer. I matematik spiller differentialligninger en større og større rolle.

Lineære differentialligninger

En differentialligning af typen:

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 5.40.10 PM

bliver kaldt for en lineær differentialligning. Når g(x) bliver udskiftet med 0, taler man om homogene differentialligninger:

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 5.38.58 PM

En lineær differentialligning kan have mange løsninger, har en ligning kun én løsning, siger man normalt at ligningen har en partikulær løsning.

Vi opsummerer

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 5.41.17 PM

Der eksisterer dog også simple lineære differentialligninger, hvor både h(x) samt g(x) er udskiftet med konstanter. Disse typer af lineære differentialligninger er lettere at arbejde med og bliver også anvendt i en række discipliner især indenfor økonomistudier.

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 5.01.24 PM

Bevis

 

Hvis vi nu tager udgangspunkt i den ovenstående lineær differentialligning og sætter b = 0, får vi den simpleste form for lineær differentialligning:

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 5.22.48 PM

Bevis

 

Eksempel

Vi vil her løse en simpel lineær differentialligning

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 6.05.16 PM

Den logistiske ligning

I matematik kan værdier blive uendelig store eller negative, dette stemmer dog sjældent overens med den virkelige verden. En population af kaniner på en øde ø kan eksempelvis ikke vokse konstant. På et eller andet tidspunkt vil føde og plads slippe op og derfor vil der jo være en grænse for, hvor mange kaniner der kan leve på et sted. En populationen kan heller ikke antage negative værdier af gode grunde. Disse begrænsninger kan man i matematik mere præcist indenfor differentialregning tage højde for. Logistiske differentialligninger har både en nedre samt øvre grænse.

Den logistiske ligning
 Skærmbillede 2013-11-16 kl. 6.28.45 PM

Den logistiske ligning har to vandrette asymptoter y = 0 og y = M. Når x går mod uendelig, vil eksponentialleddet gå mod o, derfor vil brøken nærme sig M. Når x derimod går mod minus uendelig vil y gå mod 0. Sætningen kan bevises ved separation af de variable.

Bevis

 

Opgave

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 11.02.49 PM

Løsning