Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Vigtige regneregler

 

Vigtige regneregler

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Vigtige regneregler

I denne sektion skal vi kigge nærmere på flere regneregler, når man skal differentiere en funktion. DIsse regneregler vi introducerer her anvendes ikke kun i matematik på B og A niveau, men også i høj grad i matematik på de videregående uddannelser. Derfor er det vigtigt at kunne mestre denne vigtige disciplin. Disse regneregler der præsenteres her er vigtige, da man med hjælp af disse kan i princippet differentiere langt de fleste funktioner.

I matematik kan man skrive tingene på forskellige vis. En måde at skrive afledede funktioner er ofte på en af følgende måder

  Skærmbillede 2013-11-02 kl. 12.20.52 PM

Konstant gange funktion

Man differentierer en konstant gange en funktion ved at lade konstanten stå og KUN differentiere funktionen. Hvis vi her antager at g er en differentiabel funktion og k er en konstant, så gælder der

  Skærmbillede 2013-11-02 kl. 10.33.26 AM

Reglen kan altså også skrives som

  Skærmbillede 2013-11-02 kl. 10.36.25 AM

Bevis

Vi kan nu bevise sætningen i den grønne kasse, ved at tage udgangspunkt i tretrinsreglen.

 Skærmbillede 2013-11-02 kl. 11.06.03 AM

Vi har nu sat konstanten k uden for brøken og da g er differentiabel, må brøken have grænseværdien g(x), det skrives på matematisk vis som

 Skærmbillede 2013-11-02 kl. 11.16.55 AM

Og hermed har vi altså bevist sætningen i den grønne kasse.


Sumregel/differensregel

Sumreglen også kaldt for differensreglen, når man minusser to funktioner, siger at man ved sum/differens differentiere hvert led for sig.

Dette kan vi også udtrykke matematisk, hvis h en differentiabel funktion bestående af summen/differensen af og g, så gælder der

  Skærmbillede 2013-11-02 kl. 11.00.13 AM

Ved at tage udgangspunk i tretrinsreglen kan vi endnu engang bevise sætningen.

Bevis

 Skærmbillede 2013-11-02 kl. 11.11.42 AM

Læg nu mærke til, at vi har delt funktionen h, i og g. Disse 2 brøker har grænseværdierne f'(x) og g´(x) for delta x gående mod 0. Dette kan vi skrive på matematisk vis som

 Skærmbillede 2013-11-02 kl. 11.19.04 AM

Vi har her bevist sumreglen, hvis du har gejsten kan du på tilsvarende vis prøve at bevise differensreglen. Det vil sige for h(x) = f(x) – g(x) 

Vigtige regneregler for differentiation af typiske grundfunktioner

Skærmbillede 2013-11-02 kl. 7.02.04 PM

Se her et bevis for følgende funktion

 Skærmbillede 2013-11-02 kl. 8.31.05 PM