Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Introduktion

 

Introduktion

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Introduktion

Vi har tidligere beskæftiget os med, hvad det vil sige at differentiere en funktion, dvs., bestemme dens afledte funktion. Vi går her et skridt længere og introducerer differentialligninger. En differentialligning er en ligning, hvor f(x)y er en funktion, hvor dens afledede funktion indgår. Vi har altså de almindelige ligninger 12 = 2x – 7 eller 6 = x + 3. Og differentialligningerne y’ = 2x +1 eller y’ = 2x + 4. 

Lad os her starte med en simpel differentialligning

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 11.33.39 AM

Ligningen ovenover fortæller os, at væksthastigheden for y er det dobbelte af x. Her er den ubekendte i ligningen ikke længere som vi tidligere har set et tal, men derimod en funktion. Dette komplicerer udregningerne en smule og kræver en god portion tålmodighed samt en øvelse. For at løse en sådan ligning, det vil sige at få den til at stemme, skal vi ikke blot finde et tal men en forskrift for funktionen der får ligningen til at blive sand. For at bestemme den funktion, som gør ligningen sand, finder vi ved at integrere.

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 11.44.39 AM

Indsætter vi nu løsningen ind i den øverste ligning, ser vi at ligningen er opfyldt. Spørgsmålet er om vi nu har fundet den eneste løsning til differentialligningen eller om der eksisterer flere løsninger.

Husker vi tilbage på integralregningen, så mindes vi at der var noget der hed integrationskonstanten, c. Vi har altså med andre ord, antaget at vores integrationskonstant i ovenstående er lig med 0, dette er kort gengivet her

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.04.11 PM

Læg her mærke til, at løsningen altså selv er en funktion. Grafen for løsningen kaldes en løsningskurve eller også blot for en integralkurve.

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 12.45.13 PM

Vi har her indtegnet differentialligningen sammen med den tilhørende integralkurve. Den blå graf angiver differentialligningen og den røde parabel angiver integralkurven også kaldt for løsningskurven, hvor c = 0. Ved at ændre på integrationskonstanten c kan vi altså flytte kurven op og ned. Der findes med andre ord en løsningskurve gennem et hvilketsomhelst punkt i planen.

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.14.31 PM

lad os kigge på et eksempel

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.46.39 PM

Opgaver                                                                                                                                             Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger

Skærmbillede 2013-11-16 kl. 1.57.58 PM

Løsning