Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Differensligninger

 

Differensligninger

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Differensligninger

Vi skal her beskæftige os med differensligninger. Differensligninger minder en del om differentialligninger, der er dog en stor forskel mellem disse 2 ligninger. Man arbejder kun med differensligninger under diskrete tider, hvorimod man med differentialligninger arbejder under kontinuerlig tidsinterval. Vi har her diskrete tider, = 0, 1, 2, 3,… Her kan t kun indtage bestemte heltal. Kalder vi vores funktionsværdi her for x (tidligere kaldt for y), har vi altså

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 6.15.26 PM

x(t) er med andre ord en funktion, som afhænger af den diskrete variabel t, som normalt symboliserer tid. Det kan være sekunder, minutter, timer, dage, år osv. lader vi nu være en funktion af og t, kan vi beregne x(t+1). Det vil sige

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 6.29.49 PM

Dette er altså en første ordens differensligning, da dens værdi i tid t + 1 er en afhængig af dens værdi perioden forinden, dvs., i tid t. Dette medfører at, hvis vi kender x(0), da kan vi også beregne x(1), x(2)

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 6.45.42 PM

Kender vi med andre ord en af de tidligere værdier x(t), kan vi beregne de fremtidige værdier. Vi kan natuligvis ikke benytte ovenstående fremgangsmåde, idet hvis vi eksempelvis skal beregne x(125), da vil ovenstående fremgangsmåde være meget tidskrævende. Vi ønsker med andre ord at bestemme en ligning, der nemt kan give os løsningen på x(125). Lad os kigge på et taleksempel.

Vi antager at x(0) = 2, vi ønsker nu at bestemme løsningen for følgende differensligning

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 7.00.16 PM

Læg her mærke til at, siden vi har fået opgivet x(0) = 2, må der gælde

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 7.11.32 PM

Der må altså gælde

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 7.15.23 PM

Mere generelt kan vi her skrive

Skærmbillede 2013-11-20 kl. 7.17.04 PM

Vi har altså her løsningsformen for ovenstående differensligning. Ikke alle differensligninger er dog ligeså nemme at løse som ovenstående tilfælde. Differensligninger kan som vi skal se senere være udfordrende at løse.