Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Cirkler

 

Cirkler

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Cirkler

Vi har hidtil set på ligninger for rette linjer samt parabler i koordinatsystemer. Vi skal her se, hvorledes man konstruerer cirkler i et koordinatsystem. Ved hjælp af afstandsformlen ønsker vi her i kapitlet at udlede ligningen for en cirkel. Matematisk set, svarer det altså til at bestemme den sammenhæng mellem x og y, som vil danne et cirkel i et koordinatsystem.

Cirklens ligning

Vi ved alle at en cirkel er pæn og rund. Der gælder at, alle punkter på cirklen har samme afstand til centrum.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 7.32.37 PM

Figuren foroven viser en cirkel med radius r og centrum c.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 6.40.43 PM

Der gælder altså at alle punkter (x,y) der passer ind i cirklens ligning, må ligge på selve cirklen.

 

Lad os se på et eksempel, vi har her ligningen for en cirkel.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 7.38.06 PM

Cirklen har altså centrum i punktet (2,3) og en radius på 5. Læg naturligvis mærke til at en cirkel ikke kan have en negativ radius.

Tangent til en cirkel

Vi skal i denne sektion kigge nærmere på cirklens tangent. En tangent til en cirkel er den rette linje, der netop rører cirklen i et enkelt punkt.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 7.54.37 PM

Der gælder faktisk at en cirkels tangent altid vil stå vinkelret på cirklens radius. Vi beviser i videoen forneden, at en cirkeltangent altid vil stå vinkelret på radius i røringspunktet.

 

Vi skal her se på et eksempel på, hvorledes vi beregner en cirkels tangent. Når vi kender cirklens centrum samt tangentens røringspunkt. Antager vi at en cirkel har centrum i punktet C(3,2) og yderligere en tangent i punktet P(7,5). Så kan vi beregne normalvektoren til tangenten i punktet P.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 8.10.21 PM

Som et punkt på cirklen anvendes punktet P(7,5), vi får nu ligningen.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 8.26.48 PM

Skæring mellem linje og cirkel

I tilfælde af, at vi ønsker at undersøge om en cirkel samt en linje skærer hinanden, kan man indtegne disse ind i EXCEL og se om de skærer hinanden, hvorefter potentielle skæringspunkters koordinater kan aflæses. 

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 8.45.52 PM

Vi ser i figuren foroven 3 mulige scenarier, enten kan en linje skære cirklen 2 steder (den blå linje). Linjen skærer ét sted (den grønne linje) den sidste mulighed er, at linjen ikke skærer cirklen overhovedet (den røde linje). Mere matematisk kan vi også definere det således:

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 8.58.25 PM

Lad os her se et simpelt eksempel i forhold til punkt 1.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 10.04.14 PM

Vi indsætter nu -x + 6 ind på y’s plads i cirklens ligning

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 10.07.55 PM

Vi får her en andengradsligning, hvor diskriminanten er 108 og dermed må have 2 skæringspunkter.

Opgaver

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 11.19.17 PM

Løsning

 

Opgaver                                                                                                                                             Udregn tangenten i punktet B, på cirklen.

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 11.45.43 PM

Løsning

 

Opgave

Skærmbillede 2013-11-29 kl. 11.34.18 PM

Løsning