Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Bestemt integral og areal

 

Bestemt integral og areal

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Bestemt integral og areal

For at beregne arealet A(x) mellem den vandrette akse samt en funktion f(x), skal vi anvende integration.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 8.53.03 AM

Ved integration beregnes med andre ord det grønne område under grafen og den vandrette akse. Arealet er en funktion af x, det vil sige arealet vokser i x. Jo større område funktion dækker på x-aksen, des større bliver det grønne område og dermed også arealet. I alle tilfælder ønsker man at beregne arealet mellem den vandrette akse og funktionen f(x) i et afgrænset interval. I matematik på B – niveau, beregner man normalt arealet for den del af funktionen f, der ligger over den vandrette akse, dvs. for f(x) > 0.

Det bestemte integral

Vi har nedenunder afgrænset et interval på x-aksen, som vi vil beregne arealet for. 

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 10.05.33 AM

I dette tilfælde kan vi beregne det grønne areal, der løber fra a til b på den vandrette akse (x-aksen) og vandrette akse og funktionen f(x) på den den lodrette akse (y-aksen) ved følgende formel.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 5.37.46 PM

Vi integrerer altså med andre ord funktionen f(x) over intervallet a,b for at beregne arealet mellem funktionen og grafen for f(x). De 2 tal, a og b bliver kaldt for integrationsgrænserne, det vil sige at vi integrerer mellem a og b på den vandrette akse. Siden vi integrerer mellem et bestemt interval på x-aksen, kalder vi integralet for det bestemte integral. Sætningen i den grønne kasse er sand for f(x) > 0

Bevis

 

I tilfælde af at f(x) < 0, vil grafen for denne samt den vandrette akse stadig danne et areal. I disse tilfælder kan vi naturligvis også beregne arealet mellem grafen og den vandrette akse.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 5.40.33 PM

Da vi beregner et areal giver det bestemte integral et tal, hvorimod det ubestemte integral giver en stamfunktion.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 11.56.57 AM

Lad os se et taleksempel om, hvorledes vi udregner et bestemt integral og dermed beregne arealet af en funktion f(x).

Eksempel

lad os tage udgangspunkt i følgende funktion

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 4.20.05 PM

Vi ønsker nu at beregne arealet af området under grafen for f(x) og den vandrette akse fra 1 til 3. Ifølge vores teori må arealet være lig med integralet af funktionen fra 1 til 3.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 4.34.23 PM

Vi får altså et areal på 10, vi starter altså med at tage udgangspunkt i vores funktion f(x), herefter bestemmer vi det ubestemte integral, hvorefter vi tager integrationsgrænserne i betragtning.

Prøv nu at teste dig selv ved at løse

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 4.57.35 PM

Se løsningen

Indskudsreglen

Hvis vi antager at funktionen f(x) er kontinuert i intervallet l, da kan intergrationen foretages særskilt i hvert interval. Da gælder der for tallene a,b og c. 

Skærmbillede 2013-11-06 kl. 12.53.56 PM

Bevis

Skærmbillede 2013-11-06 kl. 1.05.12 PM

Regneregler

Vi vil opsummere de vigtigste regneregler indenfor integration i den grønne kasse. Vi antager at f, er en kontinuerlig funktion i et interval, der indeholder konstanterne a, b og c. 

Skærmbillede 2013-11-06 kl. 5.22.19 PM

Opgaver           

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 5.12.50 PM

1. Beregn her arealet af det gule skraverede område, når vi får at vide at f(x) har følgende forskrift

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 5.47.08 PM

2. Diskuter kort om arealet for det skraverede område fundet, er rimelig?

Se løsningen

 

Udregn følgende integraler

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 6.04.48 PM

Se løsningen

 

Udregn følgende integraler

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 6.09.26 PM

Se løsningen

 

Udregn følgende integral

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 5.57.45 PM

Se løsningen