Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Arealformlen

 

Arealformlen

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Arealformlen

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 8.59.34 PM

Vi kan anvende sinusrelationerne til at bestemme arealet for en trekant. Sinusrelationerne er nemlig beslægtede med formlen for en trekants areal.

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 9.03.43 PM

Hvis vi nu husker tilbage på sinusrelationen:

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 9.16.58 PM

Dette svarer i vores tilfælde til:

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 9.20.14 PM

Udnytter vi dette udtryk og indsætter det på højdens plads i formlen for arealet af trekantsarealet får vi:

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 9.33.43 PM

Vi har altså hermed udregnet arealet for trekanten ud fra siderne og c samt vinkel A. På tilsvarende vis med udgangspunkt i de 2 andre vinkler kan vi også beregne arealet for trekant ABC.

Vi kan altså konkludere at arealet af en trekant ABC kan beregnes ved hjælp af følgende formler:

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 1.15.45 PM

Vi vil nu udføre en række udledninger for ovenstående resultat, med udgangspunkt i 2 forskellige vinkler i stumpvinklede trekanter samt en spidsvinklet trekant. Vi starter med bevise de ovenstående resultater, når højden falder udenfor trekanten og til sidst når den falder i selve trekanten.

Bevis, 1 – Stumpvinklet

Bevis, 2 – Stumpvinklet

Vi skal herunder bevise ovenstående resultat, når højden h kan måles indefra selve den vilkårlige trekant.

Bevis, 3 – Spidsvinklet

 

Opgaver                                                                                                                                             Udregn arealet for en trekant ABC, når:

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 10.38.27 PM

Skærmbillede 2013-10-28 kl. 10.42.02 PM

Se løsningerne