Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Andengradspolynomier

 

Andengradspolynomier

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Andengradspolynomier

Vi skal her undersøge egenskaber ved andengradspolynomier. Når vi skal bestemme de steder på x-aksen, hvor en andengradspolynomium skærer, skal vi løse en andengradsligning på følgende form

andengradsligning

Læg mærke til at a koefficienten skal være forskellig fra o. Hvis a = 0, så reduceres vores andengradsligning ned til en førstegradsligning.

Eksempler på andengradsligninger kan være

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 2.59.13 PM

I den øverste ligning har vi, = 2, = 4 og endelig c =2.                                                                     I den nederste ligning har vi, = 1, = 2 og c = -4.

Når man skal løse en andengradsligning, kan det være en udfordring at isolere x på de måder vi tidligere har set, da x er en potens i dette tilfælde. Der findes dog en formel, vi kan anvende til at bestemme x, når vi har med andengradsligninger at gøre.

Formlen hedder nulpunktsformlen

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.14.25 PM

Den nederste ligning, bliver kaldt for diskriminanten. Vi kan diskriminere mellem 3 scenarier. I tilfælde af at > 0, så vil der være 2 løsninger, når = 0, så vil der netop kun være 1 løsning og endelig når d < 0, er der ingen løsninger.

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.54.16 PM

Bevis

 

Lad os prøve at løse følgende andengradsligning:

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.21.59 PM

Vi har følgende koefficienter: = 2, = 4 og endelig c = 2. Anvender vi nu vores formler:

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.14.25 PM

og indsætter værdierne ind på deres pladser, får vi en diskriminant på 0:

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.27.32 PM

Da diskriminanten er på 0, ved at der kun vil være 1 løsning til vores andengradsligning. Vi finder løsningen ved at anvende nulpunktsformlen:

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.31.15 PM

Hvis du indsætter løsningen ind på x’s plads i ligningen, kan du kontrollere om vores løsning er korrekt.:

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 3.37.34 PM

Eksempel

Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 2 skæringspunkter.

 

Eksempel

Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 1 skæringspunkt.

 

Eksempel

Se et tilfælde, hvor der ingen skæringspunkter findes.

 

Opgaver                                                                                                                                             Udregn følgende andengradsligninger

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 4.05.51 PM

 

Udregn følgende andengradsligninger

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 4.13.11 PM

 

Udregn følgende andengradsligninger

Skærmbillede 2013-10-26 kl. 4.16.33 PM